Méthodes d'approvisionnement en flux tirés

Les méthodes de gestion en flux tiré sont donc essentiellement la gestion scientifique des stocks et le Kanban. D’autres méthodes comme le Conwip permettent de faire un pont entre le flux tiré et le flux poussé.

Le responsable d’un stock ou inventaire doit répondre à trois questions :

1) Quoi approvisionner

2) Quand approvisionner (noté T)
3) Combien approvisionner (noté Q)

Lorsqu’on utilise la gestion scientifique des stocks, ces décisions relèvent d’une décision de gestion. Elles sont prises par un planificateur, sur la base de données gérées sur papier ou sur ordinateur. Dans le cas d’une gestion KANBAN, ces décisions sont prises par des personnes de production. Ce sont des décisions opérationnelles, prises à partir d’informations visuelles.

Gestion scientifique des stocks

La gestion scientifique des stocks comporte 3 grandes étapes :

  • Identification du problème et recherche du modèle,
  • Calcul des paramètres optimaux du modèle,
  • Application d’une politique de gestion.



Figure 1


La première étape consiste à identifier la nature du problème et les coûts mis en jeu. Le problème peut être mono ou multi période(s). On parle de multi-périodes lorsque le produit acquis lors d’une période est réutilisable durant la période suivante (stockage de meubles par exemple). On parle de mono période lorsque le produit acheté ne peut servir que dans une seule période (articles promotionnels, produits frais, journaux, produits de mode, etc.). Si la demande est suffisamment stable, on parlera de problème cyclique (et on cherchera une valeur de Q unique, qui sera commandée chaque fois). Si au contraire la demande est variable dans le temps, on aura à chercher un ensemble de Qi. Les contraintes portent sur les modes d’approvisionnement, l’entreposage, les liquidités, le couplage entre produits, etc. Les coûts seront de deux types : les coûts d’acquisition (liés à la passation de la commande) et les coûts d’entreposage.

L’optimisation du modèle est la phase la plus simple. Il s’agit d’appliquer les méthodes mathématiques classiques pour trouver dans le modèle la ou les valeurs de Q qui optimisent les gains (minimisent les coûts).

Finalement, il faut adapter le modèle à la réalité car les hypothèses ne sont jamais totalement respectées. Il existe deux grandes familles de politique de gestion.

  • Politique par Quantité économique ou point de commande: on conserve la (ou les) quantités Q* calculées à l’étape 2, et on adapte les dates de commande pour tenir compte des variations de la demande par rapport aux hypothèses (méthode Q,s),
  • Politique périodique : on conserve la période de commande T, mais on adapte les quantités approvisionnées en fonction des consommations réelles (méthode T,s)

Les coûts en jeu

La gestion des stocks consiste à minimiser les coûts liés à la gestion et la tenue des stocks. On distingue habituellement les coûts suivants :

  • Coûts de passation de commande1
  • Coût de possession du stock,
  • Coût de rupture

Selon les cas, ces coûts sont pertinents ou pas. Lorsqu’on cherche la meilleure politique de gestion de stock, on cherchera à isoler les coûts dits différentiels. Un coût est dit différentiel s’il varie en fonction de la politique choisie. Les coûts qui ne varient pas en fonction de la quantité approvisionnée sont non différentiels et peuvent être négligés.

Coût de passation de commande

Les coûts de passation de commande sont les coûts encourus lorsqu’une demande de réapprovisionnement est effectuée. On distingue :

  • Coût d’achat des biens,
  • Coût de transport,
  • Coût de gestion de la commande,
  • Coût de réception de la commande
  • Coût de réglage

Le coût d’achat est un coût différentiel seulement si le prix d’achat est fonction de la quantité achetée. S’il y a des remises sur quantité, ce coût doit être considéré, car il sera différentiel. Il faudra alors connaitre le modèle C=f(Q) appliqué par le fournisseur.

Le coût de transport est souvent directement lié au volume ou au poids transporté. Dans ce cas, il n’est pas différentiel, car quelles que soient les quantités Q approvisionnées, à la fin de l’année on aura transporté la quantité total utilisée, qui ne dépend pas du nombre de transports faits. En revanche, si le transport possède une partie fixe et une partie variable, ou si les coûts de transport varient suivant des plages de poids, alors ces coûts seront différentiels. La question est donc de savoir si à la fin de l'année, les coûts de transport seront les mêmes quelque soit la quantité utilisée pour réapprovisionner.

REMARQUE: dans certain cas, les coûts de transport varient en fonction de leur caractère prévisible ou non. En cas de réapprovisionnement à date fixe, le fournisseur peut établir ses tournées et donc consentir à des rabais. Dans ce cas, on doit choisir entre une politique de réapprovisionnement périodique (Politique en T) avec un coût de transport donné, et une politique de réapprovisionnement en quantité fixe (Q*) avec un autre coût. Pour chacune des deux politique, le coût de transport est donc non différentiel (et peut être oublié) mais il doit être réintroduit lorsque l'on compare les deux politiques.

Il y a un coût de gestion de commande parce que toute transaction dans une entreprise coûte. Il faut faire des écritures, faire un suivi, émettre des bordereaux, une facture, un paiement, etc. Ces coûts de gestion sont dépendants du nombre de transactions faites, et donc ils sont toujours différentiels. Si on commande une quantité Q de produits qui couvre une année de production, on encourt un seul coût de commande, alors que si on commande mensuellement, on aura 12 coûts de commande.

La réception de la commande induit souvent un coût de réception. Souvent un coût de contrôle. Selon la politique de contrôle appliquée, le cout de contrôle peut être différentiel ou non.

Le coût de réglage est un coût différentiel qui ne concerne que les produits gérés sur stock, mais fabriqués par la compagnie. Il correspond en fait au coût de gestion pour une production fabriquée: comme ce dernier, il est encouru à chaque fois qu'une machine est réglée, donc à chaque réapprovisionnement, mais il est indépendant de la quantité. Voir pour cela la fiche technique correspondante
Le coût de réglage est généralement calculé comme la somme des coûts d'immobilisation de la machine (durée*taux horaire) et du coût de personnel.

Coût de possession

Les coûts de possession regroupent tous les coûts encourus par la détention du stock:
  • Coût d’immobilisation du capital,
  • Coût de financement de l’entrepôt,
  • Coût d’assurance,
  • Coût de péremption

Un stock, c’est avant tout du capital immobilisé. Cet argent, qu’il soit emprunté ou non, pourrait être utilisé à des choses plus rentables. Ce coût d’opportunité est appelé en gestion de stock « coût d’immobilisation ». Il est traditionnellement de l’ordre d’au moins 10% du capital immobilisé par an. Ce coût est évidement linéairement lié au volume stocké.
L’entrepôt est souvent loué (ou il pourrait servir à autre chose si on le possède). Il y a donc là encore un coût d’immobilisation du capital. Rattacher ce coût au volume stocké (ou au capital immobilisé) est une approximation courante. C’est cependant un coût plus complexe, et pas toujours différentiel. Peut-on se séparer de 20% de l’entrepôt si on ne l’utilise plus ? Est-il réellement possible d’en louer 30% de moins ?
L’entrepôt est aussi chauffé, nettoyé, et du personnel navigue à l’intérieur, bref le bâtiment a un coût de fonctionnement. Le coût des personnes se déplaçant dans l’entrepôt est différentiel si le nombre d’aller-retours est lié au volume des commandes. Pour ce qui est des coûts d’opération, on peut estimer qu’ils sont proportionnels au volume utilisé. L’approximation les rendant linéairement dépendants du capital immobilisé est plus discutable. Quant au coût de personnel, le seul coût différentiel, c’est le nombre d’aller-retours dans l’entrepôt, et celui-ci est minimisé si la quantité commandée est maximale (un seul mouvement pour la dépose). Donc, ces coûts seraient INVERSEMENT proportionnels au volume entreposé. Ceci n’est jamais réellement pris en compte.
Le coût d’assurance est souvent effectivement un coût différentiel, lié au capital assuré, donc au capital immobilisé.
Le coût de péremption (ou coût d’obsolescence) correspond au risque d’invendu. Si le produit reste trop longtemps dans l’inventaire, il peut soit se dégrader, soit devenir invendable car dépassé par d’autres produits. Ce serait le cas par exemple d’une mémoire flash de 1G acheté en inventaire en 2008, fort cher, qui était complètement dépassé l’année suivante.

Remarque 1 :
Comme on le voit, la valorisation du coût de possession est délicate. On prend souvent, sans réellement recalculer, de l’ordre de 20% du prix du produit par année de stockage. Il faut être prudent et surtout dans l’interprétation des décimales du résultat :) se souvenir de l’approximation faite à ce niveau.

Remarque 2 :

Pour la valorisation des stocks, il faut une évaluation du capital immobilisé. Doit-on évaluer à partir du coût payé (le prix des produits peut évoluer dans le temps), du prix de vente (opportunité d’affaire), d’un coût moyen? Le plus simple est de prendre un coût moyen, non lié au temps.

Coût de rupture

Que coûte un produit indisponible ? Si le produit n’est pas en inventaire, le client peut :
  • Repasser ultérieurement le prendre,
  • Repasser ultérieurement le prendre, moyennant un « effort » commercial,
  • Partir et acheter le produit ailleurs,
  • Partir fâché, et ne plus jamais revenir,
  • Partir fâché et le faire savoir autour de lui.

Les situations sont très diverses. Si la pratique admise dans le domaine est de repasser, le client le fera naturellement. Si au contraire il s’attend à repartir avec (du pain dans une boulangerie), s’il n’en trouve pas, il risque de partir ailleurs. Dans certains cas, c’est encore plus complexe. Dans un hôpital, les médicaments sont approvisionnés par des tournées régulières des fournisseurs. En cas de manque, on va dépêcher un taxi pour amener le produit en urgence. Dans certains secteurs manufacturiers, si le produit rentre dans la composition d’un équipement extrêmement dispendieux et qu’il manque, on l’approvisionnera en urgence en avion s’il le faut.

Comment attribuer un coût à la rupture? Dans chaque cas, il faut évaluer les stratégies du client, les probabilités de comportement, et essayer de se faire une tête.

D’un point de vue modèle, il est important de savoir si le manque est une commande déplacée (reportée au moment où on aura à nouveau du stock) ou définitivement perdue.

Le plus souvent, si la commande est perdue, on se limitera à considérer le coût comme étant une vente perdue.

Des fiches techniques plus détaillées permettent d'aller plus loin dans ce domaine:
http://drupal.mgi.polymtl.ca/?q=node/49

Méthodes de gestion des stocks de produits non périssables (EOQ)

La principale méthode est celle de Wilson, universellement utilisée. On considèrera aussi le problème des prix variables, des transports par seuil et le groupement de produits.

Produits indépendants, modèle de Wilson

Hypothèses :

On gère un produit indépendamment des autres
La demande est constante dans le temps d
Les ruptures ne sont pas autorisées
La livraison des produits est instantanée
Le coût de passation de commande est constant CL
Le prix du produit est C
Le coût de stockage par unité de temps est le produit d'un taux Ts de stockage par le prix du produit Cs=Ts*C
L’horizon de gestion est infini


Sous ces hypothèses, (horizon infini, demande et coût indépendants de la période) on peut montrer que la politique optimale d’approvisionnement est cyclique. Le coût d’une politique est donc caractérisé par T ou par Q :

  • T Période de réapprovisionnement (même unité de temps que Ts)
  • Q quantité réapprovisionnée à chaque fois



Figure 2 : Deux valeurs de Q (Q1 et Q2) pour le même produit

On a évidement Q=d*T
et pour le coût de stockage de n produits durant une unité de temps, le coût est Cs(n)=Ts*C*n
Si on commande Q produits à la fois, le stock moyen est Q/2, et le coût de stockage moyen par unité de temps est donc Q/2*Cs.
Le coût d’une politique consistant à approvisionner toutes les T unités de temps,


Par période Par unité de temps
Coût possession [math]Cs\times \displaystyle\frac {Q}{2}\times T =Cs\times \displaystyle\frac{d\times T}{2}\times T[/math] [math]Cs\times \displaystyle\frac {Q}{2}=Cs\times \displaystyle\frac{d\times T}{2}[/math]
Coût approvisionnementCl [math]\displaystyle\frac {Cl}{T} = \displaystyle\frac{Cl\times d}{Q}[/math]



Ce modèle choisi devra être le coût par unité de temps. On exprimera le coût d’une politique C(Q) indifféremment en T ou en Q :


[math]C(Q)=Cs\times \displaystyle\frac{Q}{2}+ \displaystyle\frac{Cl\times d}{Q} = Cs\times\displaystyle\frac{d\times T}{2} + \displaystyle\frac{Cl}{T}[/math]



On a donc la politique optimale pour Q* vérifiant:


[math]\displaystyle\frac{ \partial C(Q) }{\partial D(Q)}= \displaystyle\frac{Cs}{2}- \displaystyle\frac{Cl\times d}{Q^2} =0 [/math], soit [math]Q^\star= \sqrt{\displaystyle\frac{2\times Cl \times d}{Cs}}[/math]



OU


[math]\displaystyle\frac{ \partial C(Q) }{\partial D(T)}= \displaystyle\frac{Cs\times d}{2}- \displaystyle\frac{Cl}{T^2} =0 [/math], soit [math]T^\star= \sqrt{\displaystyle\frac{2\times Cl}{Cs\times d}}[/math]



Et naturellement


[math]Q^\star= d\times T^\star [/math]



On peut calculer le coût de cette politique optimale, ainsi que les coûts de lancement et de stockage associés:

Coût d’approvisionnement [math]CL(Q^\star) = Cl\times d \sqrt{\displaystyle\frac{Cs}{2\times Cl \times d}}= \sqrt{\displaystyle\frac{Cl\times d \times Cs}{2}}[/math]
Coût de possession [math]CS(Q^\star) = Cs\times \displaystyle\frac{1}{2} \sqrt{\displaystyle\frac{2\times Cl \times d}{Cs}}= \sqrt{\displaystyle\frac{Cl\times d \times Cs}{2}}= CL (Q^\star )[/math]
Coût de la politique [math]C(Q^\star) = CL(Q^\star) + CS(Q^\star) = 2 \sqrt{\displaystyle\frac{Cl\times d \times Cs}{2}}= \sqrt{2 \times Cl\times d \times Cs}[/math]



Propriété :

Dans le modèle de Wilson, la politique optimale consiste à commander la quantité Q* telle que le coût de passation de commande soit exactement égal au coût de possession.


Figure 3 : Les différents coûts dans le modèle de Wilson


La sensibilité du modèle peut s’étudier en regardant l’équation suivante :


[math]C(Q^\star (1+\alpha))= C(Q^\star)\times (1+\beta) [/math]



Autrement dit quelle est l’augmentation relative du coût de la politique pour une augmentation de [math]\alpha[/math] pourcent de la quantité approvisionnée.

On trouve voir note technique ci-dessous:

[math]\alpha = \beta \left( 1\pm \sqrt{1+\displaystyle\frac{2}{\beta}}\right)[/math]


Il est intéressant de voir que cette relation n’est pas symétrique, mais pour une augmentation de coût « acceptée » de 5% par exemple (donc [math]\beta=0.05[/math]) on a une variation de quantité de -27% à +37%, soit une plage de variation très grande, sans grand changement dans le coût de la politique.

Extension
Cette note technique ci-dessous donne une généralisation du modèle de base avec des ruptures autorisées et un approvisionnement en continu des produits

Modèles linéaires par morceaux

On trouve plusieurs problèmes dans les entreprises qui peuvent se modéliser par une succession de zones dans lesquelles le modèle de Wilson s’applique (avec quelques fois quelques aménagements).

La démarche de résolution de ce type de problème est la suivante :

  • Pour chacune des zones :
    • Identifier le modèle correspondant à la zone.
    • Calculer la politique optimale pour le modèle de la zone.
    • Puisque le modèle n’a qu’un minimum, l’optimum de la zone est soit le point optimal (s’il est dans la zone) soit le point frontière le plus proche.
    • Calculer le coût de la politique en ce point.
  • Choisir la zone ayant la politique la meilleure.



Figure 4 : Exemple de 4 zones à paramètres constants


Dans l’exemple de la Figure 5, il y a 4 zones, de 4 couleurs différentes. Chaque zone donne lieu à un modèle du type « Wilson » et dispose d’un optimum :

  • L’optimum en vert est dans la zone orange, donc pour la zone verte, l’optimum est la frontière entre vert et orange.
  • L’optimum de la courbe orange est dans la zone orange, c’est l’optimum de cette zone.
  • L’optimum de la zone bleue est encore dans la zone orange, l’optimum est donc la frontière entre orange et bleu.
  • L’optimum de la courbe rose est dans la zone orange, l’optimum de la zone rose est donc sa frontière avec la zone bleue.

Finalement, la solution optimale sera dans la zone bleue, à la frontière avec la zone orange, puisque cette valeur est la plus faible des 4 minima de zone.

Globalement, le point le plus bas est le rose, mais les paramètres du modèle ne s’appliquent pas dans cette zone.

Exemple 1:

On trouve cette approche si il y a un coût différentiel de transport, avec 3 camions différents, un petit, un moyen et un gros, chacun ayant un coût fixe et un coût variable. Les zones correspondent aux camions. Dans ce cas, il faut faire attention pour le calcul du coût optimal par zone, car le coût fixe de transport qui n’est pas différentiel DANS la zone doit être incorporé, car il est différentiel entre les zones.

Exemple 2:

On trouve cette approche si le fournisseur définie 2 zones de prix (ou plus) de la manière suivante :

  • Prix = [math]x[/math] dollars, jusqu’au 1000ème produit
  • Au-delà, chaque produit additionnel coûte [math]x\times (1-\alpha)\$[/math] (prix réduit)

Dans ce cas, le prix d’achat devient différentiel, mais là encore, seulement entre zone.

Politique de gestion pour produits non périssables

Dans le cas d'une politique de gestion pour produits non périssables, la modélisation permet de déterminer le modèle de coût et de contrainte associé à l’approvisionnement d’un ou d’une famille de produits. L’optimisation permet de déterminer les paramètres (T et Q) de gestion du produit. Il faut alors déterminer comment, dans le monde, appliquer ces valeurs. Les deux grandes méthodes sont :
  • Quantité fixe, période variable (Point de commande),
  • Période fixe, quantité variable (on remonte au stock maximum),

Dans les deux cas, un stock de sécurité va permettre de se prémunir contre les imprévus:

  • Dans le cas de quantité fixe : augmentation de la demande durant le délais d'approvisionnement ou augmentation du délais d'approvisionnement,
  • Dans le cas de période fixe : augmentation de la demande durant toute la période

En effet, si l'on travaille en période fixe, le fournisseur connait parfaitement la date de livraison et n'a pas d'aléa (en tout cas beaucoup moins)

Politique à quantité fixe, ou point de commande

Le principe consiste à attendre d’avoir consommer suffisamment de produits pour déclencher un réapprovisionnement.

point de commande

Le point de commande (stock d'Alerte, point de réapprovisionnement, etc. selon les entreprise) est calculé comme la quantité de produits qui sera normalement consommée durant le réapprovisionnement.

  • D Durée de réapprovisionnement (en jour)
  • d Demande journalière
  • Sa Stock d’alerte ou point de réapprovisionnement


[math]Sa= d\times D[/math]


Le principe consiste donc à commander lorsque le stock atteint ce niveau particulier.

Figure 1

Sur cette figure, on constate que lorsque la demande est plus forte que prévue (elle pourrait évidement être moins constante) on arrive plus vite au point de commande et on s'adapte à cette variation en anticipant le commande. Évidemment, si la demande est toujours supérieure à celle prévue durant le délai d'approvisionnement D on va avoir une rupture de stock (d'ou le besoin de stock de sécurité). Dans le cas d'une demande plus faible (schéma de droite) la demande arrive légèrement plus tard.
Évidement, on a un petit problème si Sa> Q. Cela signifie que plusieurs commandes sont encours simultanément.

Stock de sécurité

À cette valeur, on ajoute souvent un stock de sécurité. Ce stock est là pour couvrir l’aléa de la demande durant la période de réapprovisionnement.

  • Aléas dus à une surconsommation
  • Aléas dus à un allongement du délai de réapprovisionnement

Si la demande journalière suit une loi normale N(m,s), de moyenne m et d’écart type s, si la distribution de probabilité du délai d’approvisionnement est connue (les P(Da=t) connus pour tout t), alors un stock de sécurité de K, la probabilité de rupture est :


[math]P_{\text rupture}(SS = K) = \displaystyle\sum_{t=1}^{+\infty} P(Da=t)\times P(N(t\times m,\sqrt t\times s)> K)[/math]



En effet, c’est un produit de convolution. Si le délai d’approvisionnement est t, la loi de la demande sur t jours est une loi normale de moyenne « [math]t\times d [/math] » et d’écart type « [math]\sqrt t\times s [/math] » et on sera en rupture si on cette demande a excédé K.

Exemple :

Soit une entreprise Montréalaise approvisionnant au Mexique des chaises de jardin, avec un délai d’approvisionnement de 10 jours, mais la distribution de délais suivante :


< 9 9 10 11 12 13 14 > 14
P00.10.50.20.10.050.050


La demande suit une loi normale de moyenne 100 et d’écart type 20.

On peut alors calculer pour chaque (certaines…) valeur de K la probabilité de tomber en rupture. Le tableau suivant donne la probabilité de tomber en rupture si le délais d’approvisionnement est « t », variant de 9 à 14, puis la somme.


Kt=9t=10t=11t=12t=13t=14total
10000.0050.2500.1870.1000.0500.0500.641
11000.0000.0280.1000.0930.0500.0500.321
12000.0000.0000.0130.0500.0460.0500.159
13000.0000.0000.0000.0070.0250.0450.078
14000.0000.0000.0000.0000.0040.0250.029
15000.0000.0000.0000.0000.0000.0050.005



Tableau réalisé sous Excel, à partir des valeurs du problème et de la fonction Loi.normale(,,,). On voit qu’avec une commande de 1400, la probabilité de rupture est inférieure à 0.03.

Méthode rapide :

Si la consommation journalière durant le délai d’approvisionnement est [math]d \pm\triangle(d)[/math], alors avec un stock de sécurité de [math]K = \triangle(Da) \times d + \triangle(d) \times Da[/math] (se rajoutant au point de commande [math]d \times Da[/math] ), on a un bon résultat. Ceci revient à ajouter au seuil d’alerte [math](d \times Da)[/math] les incertitudes du premier ordre.

Exemple:

Sur l’exemple précédent, on peut admettre que d=100±20 et Da=10±2, on prend alors en SS

[math]SS = 20\times 10 + 100 \times 2 = 1400 [/math]


Si le délai de livraison est certain, c’est évidement plus simple. On peut alors calculer avec les outils statistiques classiques un taux de service (probabilité de rupture avec ce niveau de SS) ou partir du niveau de service voulu et calculer le SS correspondant.

Avantage de la méthode à quantité fixe (Q fixe):

D’abord, cette méthode brille par sa simplicité. On peut observer sa dérive, car si l’écart entre deux commandes varie, on peut diagnostiquer que le modèle est en dérive. Surtout, cette politique est robuste, car même si la demande fluctue, comme on s’adapte à la demande en modifiant les dates de commande, on corrige automatiquement les dérives.

Inconvénient de la méthode en quantité fixe (Q fixe) :

Cette méthode s’accommode mal du regroupement de plusieurs commandes. En effet, si plusieurs produits sont synchronisés, alors dès qu’un d’entre eux passe sous son stock d’alerte, il faut passer commande, mais que faire pour les autres produits. Doit on commander Qi*? NON, car sinon, si un produit est moins en régression par rapport aux autres, le système va dériver.

Politique à période fixe

Avec cette politique, on décide de commander toutes les « T » unités de temps pour respecter la période optimale, mais on adapte le volume commandé à la réalité de la consommation.

Notation :

  • Q*, ici appelé niveau de réalimentation,
  • D délai d’information,
  • d demande journalière,
  • qc quantité courante en stock
  • Q quantité à approvisionner

Il s'agit d'un délais d'information D négocié avec le fournisseur, qui peut être très faible puisque la date de livraison est parfaitement connue et qu'il y a généralement peu de variation sur la quantité commandée.

[math]Q=Q^\star + ((D \times d) - qc)[/math]



Figure 1

Ainsi, si le niveau de stock qc est exactement au niveau prévu [math](D\times d)[/math] puisque [math](T\times d = Q^\star[/math], alors la commande est exactement de Q*. Si la consommation a été plus forte, on commande plus car [math](qc < Da\times d)[/math], sinon on commande moins.

Dans cette politique, le stock de sécurité est plus important car il doit permettre de couvrir l’incertitude de la demande sur TOUTE la période d’approvisionnement. Si la demande journalière suit une loi normale de moyenne m et d’écart type s, alors la demande sur T suit une loi normale de moyenne [math]T\times m[/math] et d’écart type [math]\sqrt T\times s[/math].

Notons cependant que si l’approvisionnement est planifié (périodique) il n’y a souvent aucune incertitude sur le délai de livraison. En effet, le fournisseur connaît parfaitement la demande, et il doit simplement adapter la quantité. En cas de production, l’atelier peut planifier ses demandes dans le temps (en décalant les périodes) et en cas d’approvisionnement par fournisseur, on peut planifier les réceptions.

Les coûts de transports peuvent aussi être moins élevés du fait de la synchronisation.

Remarque :

Habituellement, il est préférable que toute les périodes soient soit identiques, soit multiples. En effet, si les périodes diffèrent, on peut perdre l’avantage de la planification car les demandes peuvent arriver en même temps.

Stocks de produits périssables (Newsboy)

Stocks de produits périssables

On parle de produit périssable lorsque l’approvisionnement se fait en une seule fois. Les produits excédentaires sont détruits ou vendus à perte, les produits manquants sont définitivement perdus. On trouve cette situation dans :

  • les produits de type mode, saisonnier, acheté en Asie, approvisionné en container,
  • les produits alimentaires frais,
  • certains produits alimentaires avec date serrée de péremption,
  • etc.

La gestion de ces inventaires se fait alors en 4 étapes :

  • Estimation du besoin et donc des ventes prévisionnelles
  • Passage de la commande et attente
  • Réception des produits et début des ventes
  • Fin des ventes et constatation soit d’un surplus soit d’un manque

Évidement, le but est d’avoir les meilleures prévisions possibles. Au-delà de cela, il faut déterminer la quantité à approvisionner en faisant un arbitrage entre les coûts de pénurie et ceux de rupture.


Figure 5


Sur la figure, on voit deux résultats de vente. En rouge, les ventes sont bonnes mais on fini en négatif, donc on a une rupture. En vert, on a des surplus.

Modèle de base

Notation:

  • c, coût d’achat du produit
  • v, prix de vente du produit
  • f, densité de probabilité des ventes (estimée)
  • X, demande réelle
  • G(S), gain si on approvisionne S produit

On doit calculer le gain G(S):


[math]G(S)= v\times min(X,S) - c \times S[/math]



[math] \displaystyle\frac {\partial G(S)} {\partial (S)} = v\times \left( \displaystyle\frac {\partial (min(X,S)}{\partial (S)}\right) - c [/math]



[math]\displaystyle\frac {\partial G(S)}{\partial (S)} = v \times (1 \times P(S < X) + 0 \times P(S \ge X)) - c = v \times P(S < X)-c[/math]



[math]\displaystyle\frac {\partial G(S)}{\partial (S)} = v \times [1 - P(S \ge X)] - c = v \times [(1 - F(S)]-c [/math]



Et par conséquent :

[math] \displaystyle\frac {\partial G(S)} {\partial (S)} = 0 \to S = F^{-1}\left[ \displaystyle\frac{v - c}{v} \right] = F^{-1} \left[1- \displaystyle \frac{c}{v} \right]
[/math]



Donc la politique optimale est simplement calculée par la fonction inverse de la fonction de répartition de la densité de probabilité de la demande.

Exemple :

Un boulanger fabrique des viennoiseries tous les jours. Le surplus est donné aux employés le soir, mais gratuitement. Le coût de fabrication est estimé à 0.40 [math] \$[/math], le prix de vente à 1,00 [math]\$[/math]. La demande suit une loi normale de moyenne 120 et d’écart type 20. Combien doit-t-il en fabriquer :

Réponse (voir Excel) ==LOI.NORMALE.INVERSE((1-0.4)/1,120,20)=125

Remarque :

Rien n’est jamais si simple. D’une part, le commerçant vend ses viennoiseries 1.00 [math] \$[/math] l’unité, et 4.00 [math] \$[/math] pour 5 unités, la répartition est inconnue, car la caisse n’enregistre pas cela. D’autre part, les employés sont plus fidèles s’ils emportent de temps en temps des viennoiseries chez eux. Et finalement, pour connaitre la loi de la demande, le commerçant dispose d’un fichier donnant jour par jour sa production, combien il en reste à la fermeture (si il en reste) ou l’heure de vente du dernier. C’est avec cela qu’il doit reconstruire la loi de demande….

Dans le cas de la quantité économique de commande, on a calculé le coût d’une politique. Il peut ici aussi être intéressant de calculer le gain associé à la politique optimale. C’est malheureusement beaucoup plus compliqué car il n’existe pas de formule indépendante de la loi de probabilité de la demande (voir note technique).

Modèle générale

Notation :

  • c, coût d’achat du produit
  • v, prix de vente du produit
  • r, coût de rupture
  • s, prix de solde
  • p, prix de possession
  • f, densité de probabilité des ventes (estimée)
  • X, demande réelle
  • G(S), gain si on approvisionne S produit

Ces trois nouveaux coûts (r, s, p) sont généralement introduits dans le modèle général. Ils correspondent aux réalités suivantes :
Le coût de rupture exprime qu’une non vente peut se traduire par une perte au-delà de la non vente. Si le client ne trouve pas son produit, il peut ne plus revenir ou supprimer d’autres achats

Le prix de solde exprime que si le produit n’est pas vendu au bout de la période de vente, on peut s’en départir à perte, mais pas pour rien.

Le coût de possession est souvent rajouter par symétrie avec le problème de Wilson.

Dans cette partie nous ignorerons la partie coût de stockage car il peut, sans nuire à la généralité, se grouper au prix d’achat.

Le gain est alors:


[math]G(S) = v \times min(X,S) + s \times max(S - X,0) - r \times max(X - S,0) - c \times S[/math]



[math]\displaystyle\frac {\partial G(S)}{\partial (S)} = v \times \displaystyle\frac {\partial (min(X,S))}{\partial (S)} + s \times \displaystyle\frac {\partial (max(S - X,0))}{\partial (S)} - r \times \displaystyle\frac {\partial (max(X - S,0))}{\partial (S)} - c [/math]



[math]\displaystyle\frac {\partial G(S)}{\partial (S)} = v \times (P(S < X)) + s \times (P(S - X > 0)) + r \times (P(X - S > 0)) - c [/math]



Note : le signe « + » devant le « r » s’explique par le fait que la dérivée de « max(X-S,0) » par rapport à S est de « -1 » si « X-S>0 » et de « 0 » sinon. Le coût de rupture décroit avec S, alors que les coûts d’achat et de vente de surplus croissent avec S.


[math]\displaystyle\frac {\partial G(S)}{\partial (S)} = v \times (1 - P(X < S)) + s \times (P(X < S)) + r \times (1 - P(X < S)) - c [/math]



[math]\displaystyle\frac {\partial G(S)}{\partial (S)} = v + r - c - (v + r - s) \times P(X < S) [/math]



[math]\displaystyle\frac {\partial G(S)}{\partial (S)} = 0 \to F^{-1}(S) = \displaystyle\frac {(v + r - c)}{(v + r - s)} [/math]



Exemple :

Si le même boulanger estime que la perte d’un client lui coûte 10[math]\$[/math] et qu’il solde ses viennoiseries à 0.20 [math]\$[/math] en fin de soirée, il doit fabriquer :

Solution (avec Excel)= LOI.NORMALE.INVERSE((1+10-0.4)/(1+10-0.2),120,20)=162

On est donc beaucoup plus prudent.

Limite :

Le modèle n’a de sens que si « s < c », autrement dit si les surplus sont vendus à perte. Dans la réalité (Cf boxing day) on fait des rabais, mais pas de la vente à perte. Si on relaxe cette contrainte et que « s>c », alors le coefficient [math]\displaystyle\frac {(v + r - c)}{(v + r - s)} [/math] passe au-delà de 1 et cela n’a pas de sens. À la limite, si « s=c » on doit commander une quantité infinie. Le problème vient du modèle mathématique sous-jacent qui assume que TOUS les invendus seront vendus, donc qu’implicitement, la demande est infinie. Or ce n’est évidement pas le cas.

Les modèles en boucle fermée (Kanban et autres)

Les modèles en boucle fermée

Les modèles en boucle fermés on pour but de limiter en Hardware le volume d'encours dans l'atelier. Deux grandes méthodes : le Kanban (qui est simultanément un mode de déclenchement de la demande et de contrôle de l'encours) et le CONWIP (CONStant Work In Process) qui est purement un système de limitation de flux et doit être utilisé avec une autre méthode de déclenchement (Flux poussé ou Knaban).
Une méthode plus rare, EPEI est cité dans la littérature.

Kanban

Principe

Les produits sont mis dans des contenants (caisse, container, etc.) avec une étiquette Kanban (Kanban signifie étiquette). Lorsqu'un contenant est entamé, on prélève l'étiquette Kanban du contenant qui est alors disponible pour être réapprovisionné (produit, approvisionné ou acheté selon les cas). Seul le contenant entamé peut n'avoir aucune étiquette.
Pour chaque produit fabriqué, on détermine donc le nombre de Kanbans requis. Le nombre d'étiquettes correspond au nombre maximum de contenants (moins un si il y a un contenant entamé)que l'on peut gérer. Pour fabriquer un lot de produits, il faut disposer d'une ou plusieurs étiquettes (correspondant à autant de produits déjà consommés). Lors de la mise en fabrication, on associe un Kanban par contenant de produits. Lorsque le lot de produits est fini, on dépose le (ou les contenants) produit(s) avec leur(s) étiquette(s) dans le lieu de consommation. Lorsque le premier produit de ce lot est consommé, on retire le Kanban de la caisse et on peu commencer à produire le lot suivant.



Figure 6


Il y a deux types de Kanban :

  • Kanban classique: les containers ont un volume connu, on en cherche le nombre d'étiquettes.
  • Kanban à deux containers seulement, on cherche le volume du container.

Kanban classique, recherche du nombre d'étiquettes

Le nombre NF d'étiquettes (nombre de Kanbans, nombre total de containers) se calcule en fonction de trois paramètres :

  • la demande journalière (en produits): D
  • le volume du container: K
  • le temps de réaction : C

[math]N_F=\displaystyle\frac {D}{K}C[/math]

Le temps de réaction inclut :

  • la cueillette des Kanbans (temps entre la libération de l'étiquette sur le lieu de consommation et sa prise en compte au lieu de production). Souvent, la cueillette se fait à une fréquence donnée, donc cette durée est bornée,
  • le délai de mise en production (attente de la libération de la machine, réglage, etc.)
  • la durée de production elle-même,
  • le temps de retour entre le lieu de production et le lieu de consommation.

On peut multiplier cette valeur par un coefficient [math](1+\beta)[/math] ou [math]\beta[/math] représente un coefficient de sécurité.


[math]N_F=(1+\beta) \displaystyle\frac {D}{K}C[/math]


Notons que le principe KANBAN s'inscrit dans une mouvance d'amélioration continue caractérisant la méthode TOYOTA. Le nombre de Kanbans est donc une valeur initiale qu'il convient de diminuer au fur et à mesure des améliorations. Le but est de diminuer petit à petit ce nombre.

Le nombre de Kanbans doit-il évoluer si la demande augmente ? On pourrait penser que si la demande augmente, il faut augmenter le nombre de Kanbans. Les adeptes de la méthode Toyota refusaient de changer ce nombre, arguant que c'est au niveau de la planification qu'il faut agir : si la demande anticipée augmente, on doit augmenter les ressources au point que le temps de réponse diminue d'autant.

Exemple:

Soit une demande journalière moyenne de 48 produits (sur une base de 8 heures par jour), un container de 4 produits et un délai de mise à disposition de 2 heures (en l'occurrence 0.25 jour). Le nombre de Kanbans est donc de

[math]N_F= 48/4\times 0.25 = 3 [/math]

Kanban à deux contenants

Dans ce cas, il y a deux contenants A et B. Lorsqu’un contenant est vide (le A par exemple), on entame le second (donc le B) et on demande un approvisionnement simultanément du premier. L'approvisionnement du contenant demandé (le A) doit donc arriver au moment (un peu avant si possible) où le second (le B donc) est vide.

Le volume d'un contenant doit donc couvrir la demande pendant le temps de réaction du système.

[math]K=D\times C[/math]


D (demande par unité de temps) et C (temps de réaction) sont exprimés dans la même unité de temps.

Exemple:

Soit un restaurant de restauration rapide qui sert 5 portions de frittes à la minute, et il faut 5 minutes pour faire un panier de frittes. On fonctionne avec deux paniers. Chaque panier doit donc contenir :

[math]K= 5\times 5= 25 \text{ portions de frittes} [/math]

Kanban avec lots de fabrication

Lorsque les produits ne sont pas fabriqués dès que la demande arrive mais par lots (dits un peu rapidement lots économiques), il faut plus de Kanbans car le temps de réaction augmente. Les nouveaux paramètres sont :

  • q : taille du lot de fabrication (en produits)
  • q/k: nombre de containers nécessaires pour commencer la fabrication

Un container arrivant (le premier) doit attendre q/k-1 containers pour que la fabrication commence. C'est donc la valeur à ajouter et le nouveau nombre de container est :


[math]N_F=\displaystyle\frac {D}{K}C + \left(\displaystyle\frac {Q}{K}-1 \right)[/math]

On peut vérifier cette valeur en utilisant un nouveau temps de réaction C’ incluant la durée de consommation des q/k-1 containers qui constituent le lot (avec le premier container).

[math]C'= C + \displaystyle\frac {\left( \displaystyle\frac {Q}{K}-1 \right)\times K }{D} [/math]


[math]N_F= C'\displaystyle\frac {D}{K} =\displaystyle\frac {D} {K} \left( C + \displaystyle\frac {\Bigl(\displaystyle\frac {Q}{K}-1 \Bigr)\times K }{D} \right) = \displaystyle\frac {D}{K} C + \left(\displaystyle\frac {Q}{K}-1 \right) [/math]

Règles de fonctionnement et limites

Les principales règles à respecter lorsqu’on utilise un Kanban sont :

  • Aucune fabrication ne peut se faire sans une étiquette Kanban,
  • Les contenants doivent être consommés dans l'ordre et ne pas être tous entamés en même temps,
  • On ne doit pas avoir de problème de qualité.

En effet, comme pour tous les systèmes de flux tiré, le niveau de stock est bas et le moindre problème de qualité entraine une rupture de stock.

Il y a plusieurs limites au fonctionnement du Kanban :

  • Il est difficile de faire de la traçabilité. En effet, l'absence d'ordre de fabrication formel (c'est l'étiquette Kanban qui sert de déclencheur de la mise en fabrication) ne permet pas d'attacher les caractéristiques de la production (lots de matière première, opérateurs, etc.) à un ordre,
  • En cas de ressources partagées, le temps d'attente peut s'avérer long. De plus, si plusieurs Kanbans (correspondant à des produits différents) sont libres simultanément, il faut une règle d'arbitrage. Le plus souvent, on utilise un tableau Kanban. Voir la fiche Tableau Kanban dans la section Fiches Techniques.

Une autre caractéristique du KANBAN est que son stockage physique demande souvent de réserver un emplacement pour tous les KANBANS : on réserve l'espace maximum. Comme il est borné, il est assez facile de le faire. Soit on utilise des emplacements marqués au sol (gros équipements), soit on utilise un stockage dynamique pour garantir un accès FIFO aux objets et l'utilisation séquentiel des contenants.

Une place pour chaque chose, chaque chose à sa place

Kanban multiproduits

Lorsque plusieurs produits sont fabriqués par la même cellule de production, il y a une boucle Kanban par produit. Évidement, l’accès à la ressource devient plus difficile et le temps de réaction C peut se trouver considérablement augmenté.

Notons aussi qu’en cas d’atelier plus complexe, si tous les produits demandent simultanément une production, l’encours de l’atelier peut augmenter en créant un engorgement. En effet, sur chaque boucle Kanban l’encours est limité, mais les boucles ne sont pas synchronisées.

Lorsque le même atelier est utilisé pour plusieurs boucles Kanban, on utilise un tableau Kanban (voir la fiche Tableau Kanban dans la section Fiches Techniques).

Plusieurs extensions simples ont été faites. Les Kanbans de transfert (voir la fiche Kanban de Transfert dans la section Fiches Techniques) et les Conwip.


Figure 7


Un bon exemple de Kanban à deux cartes
Un bon exemple de Kanban à deux cartes et e-kanban
Un bon exemple de Kanban avec communication RFID

Conwip

Domaine d'application

Le CONWIP est un outil servant au contrôle de la production d'un atelier déterminé. Il permet de limiter de manière stricte le nombre de produits simultanément présents dans l'atelier. C'est un système de contrôle par boucle fermée. Il faut attendre une sortie de pièce pour avoir l'autorisation d'en commencer une autre.

Principe de base

On détermine a priori le nombre maximum de produits en encours de fabrication (Work In Process). On dispose de ce nombre de CONWIP (cartons, étiquettes, autorisations, peu importe la dénomination). Pour qu'un produit puisse être lancé en production, il faut lui associer un CONWIP libre. Le CONWIP accompagnera le produit tout au long de la production et sera libéré dès que le produit est terminé (sort de l'atelier).

Les demandes qu’on ne peut pas fabriquer (produits qu’on souhaite fabriquer mais qui ne disposent pas encore de CONWIP) sont virtuellement stockées dans une liste d'attente (Backlog). Cette liste est généralement gérée en FIFO, mais on peut la gérer différemment.

Par construction, un CONWIP est utilisé dans un contexte mixte de flux poussé/ flux tiré. Les ordres de fabrications sont générés par un système de type MRP ou autre. Ils sont envoyés dans l'atelier, mais ils sont bloqués (ils restent en attente d'un CONWIP).

Le CONWIP n'est pas un flux tiré à proprement parlé puisque c'est la fin d'une production qui génère la mise en fabrication d'une demande en attente.

Domaine d'utilisation

Pour que le CONWIP ait un sens, puisque toutes les pièces utilisent la même "étiquette", il faut que la charge induite par chaque pièce soit plus ou moins la même. Il ne faut pas forcément que l'atelier soit une ligne, ni que chaque pièce ait la même gamme, mais il vaut mieux que le volume de travail soit comparable.


Figure 8

CONWIP versus KANBAN

Il existe plusieurs différences importantes entre le CONWIP et le KANBAN:

  • Le kanban est associé à un produit donné, le CONWIP est commun à tous les produits,
  • Le kanban est souvent lié à un seul moyen de production alors que le CONWIP englobe un atelier complet,
  • Le kanban est réutilisable lorsque la pièce est consommée, le Conwip est réutilisable lorsque la pièce est fabriquée.

De fait, ces méthodes sont assez différentes.

Extension

La première extension du CONWIP consiste à disposer de plusieurs CONWIPs, un par produit ou un par famille de produit. Si on fonctionne par famille de produit, on doit réunir dans une même famille l'ensemble des produits ayant un temps de production comparable.

EPEI (Every Part Every Interval)

Cette méthode consiste à utiliser un ordonnancement cyclique des produits à fabriquer, en calculant la taille des lots en fonction du temps disponible pour les réglages:
http://leanmath.com/blog/2013/05/14/every-part-every-interval-epei/
http://www.allaboutlean.com/epei-pattern-leveling/

Références

http://web.mit.edu/manuf-sys/www/amb.summary.html

_______________
1 Les fiches techniques sur http://www.free-logistics.com/index.php/fr/ sont intéressantes.