Saisonnalité

Beaucoup de chroniques étudiées en gestion des opérations sont saisonnières. Les saisonnalités peuvent provenir :
  • Du mois de l’année car les ventes sont associées au climat (motoneige, ski, produit de jardin, service lié aux périodes de congé, etc.)
  • De la période de l’année pour des raisons calendaires (fête du calendrier, lien avec des rentrées universitaire ou scolaire, liés à des autorisations de pêche ou de chasse, etc…)
  • De la période du mois (disponibilités financières liées au versement des salaires dans des pays ou les salaires sont mensuels, disponibilités liées aux fin de semaines, etc.)

Si on dispose d’une série chronologique X(t) et qu’on suspecte une saisonnalité, on peut confirmer l’impression avec un graphique superposé ou un corrélogramme.

Graphique superposé :

Le graphique superposé consiste tout simplement, lorsque l'on suspecte une saisonnalité de période T dans une chronique X(t), à représenter les différentes courbes : [math] \displaystyle Y_i = \left(X_{i*T+j}\right)_{j=1..T} [/math] pour les [math]i [/math] pour lesquels c'est définie, allant de 0 à [math] n/T[/math] si n est le nombre d'éléments de la chronique. Autrement dit, une courbe par période, toutes supperposées. Si le phénomène est effectivement saisonnier, les courbes ont toutes la même allure.
LE graphique des coefficients de corrélation donne tout simplement pour un j donné, le coefficient de corrélation entre la chronique [math] \left(X_i\right)_{i=1..n-j}[/math] et la chronique décalée de j, soit [math] \left(X_i\right)_{i=j..n}[/math]. Si la chronique est de périodicité T, le corrélogramme doit atteindre un maximum proche de 1 pour [math] j=T
[/math]

Exemple : A COMPLETER

Une fois la saisonnalité identifiée, deux modèles sont possibles : additif ou multiplicatif.

  • Additif : X(t)=f(t)+Cs(t)+e(t)
  • Multiplicatif : X(t)=f(t)*Cs(t)+e(t)

Où f(t) est le modèle sous jacent (constant ou avec une tendance) et e(t) l’erreur.

L’évaluation des coefficients de saisonnalité se fait le plus souvent par une moyenne des coefficients passés, ramené à la moyenne [math] \overline {X(t)} de la chronique.

  • Additif : moyenne des [math] X(t + i \times T) - \overline {X(t + i \times T)} [/math] disponibles
  • Multiplicatif : moyenne des [math] \displaystyle \frac {X(t+i \times T)} {\overline {X(t + i \times T)}} [/math] disponibles

La moyenne [math] \overline {(X(t)} [/math] étant calculée de la manière suivante :

  • Si la saisonnalité est un nombre impair «T» de période :

    [math] \overline {X(t)} = \displaystyle \frac {1}{T} \sum_{ \frac {-(T-1)}{2}}^{ \frac {T-1}{2}} X(t+i) [/math]

  • Si la saisonnalité est un nombre pair «T» de période :

    [math] \overline {X(t)} = \displaystyle \frac {1}{T-1} \sum_{ \frac {-T}{2} -1}^{ \frac {T}{2} -1} X(t+i) + \frac 12 \left( X(t+ \frac T2) + X(t- \frac T2) \right) [/math]

Exemple : A COMPLETER

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
janvier 72 18 23 20 33 11 40 70 15 25 23 33 17 49 77 12 26 24 30 17 42 70 15 20 28 30 19 45 78 16 20
février 25 37 16 41 75 15 20 29 37 14 48 71 15 26 26 32 17 47 74 12 24 24 33 10 46 71 12 26 25
mars 36 10 40 79 16 23 21 36 17 48 77 18 21 28 36 16 43 74 12 24 20 36 15 46 77 17 28 21 33 13 48
avril 72 11 24 28 37 11 42 72 19 20 21 37 11 46

Pour prévoir avec une chronique ayant une composante saisonnière, on procède le plus souvent de la manière suivante :

  • Désaisonnaliser la chronique
  • Effectuer une prévision sur la chronique désaisonnalisée, soit avec un modèle constant, soit avec un modèle avec tendance
  • Resaisonnaliser la prévision.

Les coefficients de saisonnalité peuvent être calculés une fois pour toute ou recalculés à chaque prévision.

Exemple : A COMPLETER

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1 http://fr.wikipedia.org/wiki/Pr%C3%A9vision_%C3%A9conomique
2 http://en.wikipedia.org/wiki/Focus_group
3 Le coefficient R2 mesure la part de la variance totale de la chronique par la variance de l’approximation, autrement dit c’est la (variance du modèle)/(variance de X(t)). Proche de 1, le modèle explique bien les données.