Prévisions



Si la chronique suit une tendance, on peut l’approximer par :


[math]y(t)=a \times t+b+e(t)[/math]



Le lissage par la moyenne mobile donne :


[math] \displaystyle \overline {y(t)} = \frac 1n \sum_{i=0}^{n-1} y(t-i) = \frac 1n \sum_{i=0}^{n-1} \left( a(t-i) + b + e(t-i) \right) [/math]



[math] \displaystyle \overline {y(t)} = \frac 1n \sum_{i=0}^{n-1} a(t-i) + \frac 1n \sum_{i=0}^{n-1} b + \frac 1n \sum_{i=0}^{n-1} e(t-i)[/math]



[math] \displaystyle \overline {y(t)} = \frac an nt - \frac an \sum_{i=0}^{n-1} i + b + \frac 1n \sum_{i=0}^{n-1} e(t-i)[/math]



[math] \displaystyle \overline {y(t)} = \frac an nt - \frac an \left( \frac {(n(n-1))}{2} \right) + b + \frac 1n \sum_{i=0}^{n-1} e(t-i)[/math]



Comme le terme e(t) est un bruit de moyenne nulle,


[math] \displaystyle \overline {y(t)} = at - a \frac {(n-1)}{2} + b = a \left[ t - \frac {n-1}{2} \right] [/math]



Donc le lissage utilisant une moyenne mobile centrée de n+1 éléments, (n impaire) introduit un retard de [math] \frac {n-1}{2} [/math].


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Si la chronique suit une tendance, on peut l’approximer par :


[math]y(t)=a \times t+b+e(t) [/math]



Le lissage par une moyenne mobile centrée d’ordre 2 donne


[math] \displaystyle \overline {\overline {y(t)}} = \frac 1n \sum_{i=0}^{n-1} \overline {y(t-i)} = \frac 1n \sum_{i=0}^{n-1} \frac 1n \sum_{k=0}^{n-1} y(t-k-i) [/math]



[math] \displaystyle \overline {\overline {y(t)}} = \frac 1n \sum_{i=0}^{n-1} \overline {y(t-i)} = \frac {1}{n^2} \sum_{i=0}^{n-1} \sum_{k=0}^{n-1} \left[ a(t-k-i) + b + e(t-k-i) \right] [/math]



[math] \displaystyle \overline {\overline {y(t)}} = \frac {1}{n^2} \sum_{i=0}^{n-1} \sum_{k=0}^{n-1} \left[ at + b - a(k+i) + e(t-k-i) \right] [/math]



[math] \displaystyle \overline {\overline {y(t)}} = at + b - \frac {a}{n^2} \sum_{i=0}^{n-1} \sum_{k=0}^{n-1} (k+i) + \frac {a}{n^2} \sum_{i=0}^{n-1} \sum_{k=0}^{n-1} e(t-k-i) [/math]



[math] \displaystyle \overline {\overline {y(t)}} = at + b - \frac {a}{n^2} \sum_{i=0}^{n-1} ni + \sum_{k=0}^{n-1}(k) [/math]



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Si la chronique suit une tendance, on peut l’approximer par :


[math]y(t)=a \times t+b+e(t)[/math]



Le lissage exponentiel donne :


[math] \displaystyle y'(t)= \alpha \sum_{i=0}^{ \infty } (1- \alpha)^i y(t) = \alpha \sum_{i=0}^{ \infty } (1- \alpha)^i \left( a (t-i) + b + e(t-i) \right)[/math]



[math] \displaystyle y'(t)= \alpha \sum_{i=0}^{ \infty } (1- \alpha)^i \left( at - ai + b + e(t-i) \right) [/math]



[math] \displaystyle y'(t)= (at + b) - \alpha a \sum_{i=0}^{ \infty } (1- \alpha)^i i + \alpha \sum_{i=0}^{ \infty }(1- \alpha)^i e(t-i)[/math]



Comme le terme e(t) est un bruit de moyenne nulle, et comme


[math] \displaystyle \sum_{i=0}^{ \infty } (1-x)^i = \frac 1x[/math]



Et que


[math] \displaystyle \sum_{i=0}^{ \infty } i(1-x)^{i-1} = x^{-2}[/math]



Alors


[math] \displaystyle y'(t)= (at+b) - \alpha (1- \alpha) a \sum_{i=0}^{ \infty } (1- \alpha)^{i-1} i = (at+b) - \frac {(1- \alpha)a}{ \alpha} [/math]



[math] \displaystyle y'(t)= a \left(t - \frac {(1- \alpha)}{\alpha} \right) + b = y \left[t - \frac {(1- \alpha)}{ \alpha} \right][/math]



Donc le lissage exponentiel simple introduit un retard de [math] \frac {(1- \alpha)}{\alpha} [/math]