Méthodes de gestion des stocks de produits non périssables (EOQ)

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La principale méthode est celle de Wilson, universellement utilisée. On considèrera aussi le problème des prix variables, des transports par seuil et le groupement de produits.

Produits indépendants, modèle de Wilson

Hypothèses :

On gère un produit indépendamment des autres
La demande est constante dans le temps d
Les ruptures ne sont pas autorisées
La livraison des produits est instantanée
Le coût de passation de commande est constant CL
Le prix du produit est C
Le coût de stockage par unité de temps est le produit d'un taux Ts de stockage par le prix du produit Cs=Ts*C
L’horizon de gestion est infini


Sous ces hypothèses, (horizon infini, demande et coût indépendants de la période) on peut montrer que la politique optimale d’approvisionnement est cyclique. Le coût d’une politique est donc caractérisé par T ou par Q :

  • T Période de réapprovisionnement (même unité de temps que Ts)
  • Q quantité réapprovisionnée à chaque fois



Figure 2 : Deux valeurs de Q (Q1 et Q2) pour le même produit

On a évidement Q=d*T
et pour le coût de stockage de n produits durant une unité de temps, le coût est Cs(n)=Ts*C*n
Si on commande Q produits à la fois, le stock moyen est Q/2, et le coût de stockage moyen par unité de temps est donc Q/2*Cs.
Le coût d’une politique consistant à approvisionner toutes les T unités de temps,


Par période Par unité de temps
Coût possession [math]Cs\times \displaystyle\frac {Q}{2}\times T =Cs\times \displaystyle\frac{d\times T}{2}\times T[/math] [math]Cs\times \displaystyle\frac {Q}{2}=Cs\times \displaystyle\frac{d\times T}{2}[/math]
Coût approvisionnementCl [math]\displaystyle\frac {Cl}{T} = \displaystyle\frac{Cl\times d}{Q}[/math]



Ce modèle choisi devra être le coût par unité de temps. On exprimera le coût d’une politique C(Q) indifféremment en T ou en Q :


[math]C(Q)=Cs\times \displaystyle\frac{Q}{2}+ \displaystyle\frac{Cl\times d}{Q} = Cs\times\displaystyle\frac{d\times T}{2} + \displaystyle\frac{Cl}{T}[/math]



On a donc la politique optimale pour Q* vérifiant:


[math]\displaystyle\frac{ \partial C(Q) }{\partial D(Q)}= \displaystyle\frac{Cs}{2}- \displaystyle\frac{Cl\times d}{Q^2} =0 [/math], soit [math]Q^\star= \sqrt{\displaystyle\frac{2\times Cl \times d}{Cs}}[/math]



OU


[math]\displaystyle\frac{ \partial C(Q) }{\partial D(T)}= \displaystyle\frac{Cs\times d}{2}- \displaystyle\frac{Cl}{T^2} =0 [/math], soit [math]T^\star= \sqrt{\displaystyle\frac{2\times Cl}{Cs\times d}}[/math]



Et naturellement


[math]Q^\star= d\times T^\star [/math]



On peut calculer le coût de cette politique optimale, ainsi que les coûts de lancement et de stockage associés:

Coût d’approvisionnement [math]CL(Q^\star) = Cl\times d \sqrt{\displaystyle\frac{Cs}{2\times Cl \times d}}= \sqrt{\displaystyle\frac{Cl\times d \times Cs}{2}}[/math]
Coût de possession [math]CS(Q^\star) = Cs\times \displaystyle\frac{1}{2} \sqrt{\displaystyle\frac{2\times Cl \times d}{Cs}}= \sqrt{\displaystyle\frac{Cl\times d \times Cs}{2}}= CL (Q^\star )[/math]
Coût de la politique [math]C(Q^\star) = CL(Q^\star) + CS(Q^\star) = 2 \sqrt{\displaystyle\frac{Cl\times d \times Cs}{2}}= \sqrt{2 \times Cl\times d \times Cs}[/math]



Propriété :

Dans le modèle de Wilson, la politique optimale consiste à commander la quantité Q* telle que le coût de passation de commande soit exactement égal au coût de possession.


Figure 3 : Les différents coûts dans le modèle de Wilson


La sensibilité du modèle peut s’étudier en regardant l’équation suivante :


[math]C(Q^\star (1+\alpha))= C(Q^\star)\times (1+\beta) [/math]



Autrement dit quelle est l’augmentation relative du coût de la politique pour une augmentation de [math]\alpha[/math] pourcent de la quantité approvisionnée.

On trouve voir note technique ci-dessous:

[math]\alpha = \beta \left( 1\pm \sqrt{1+\displaystyle\frac{2}{\beta}}\right)[/math]


Il est intéressant de voir que cette relation n’est pas symétrique, mais pour une augmentation de coût « acceptée » de 5% par exemple (donc [math]\beta=0.05[/math]) on a une variation de quantité de -27% à +37%, soit une plage de variation très grande, sans grand changement dans le coût de la politique.

Extension
Cette note technique ci-dessous donne une généralisation du modèle de base avec des ruptures autorisées et un approvisionnement en continu des produits

Modèles linéaires par morceaux

On trouve plusieurs problèmes dans les entreprises qui peuvent se modéliser par une succession de zones dans lesquelles le modèle de Wilson s’applique (avec quelques fois quelques aménagements).

La démarche de résolution de ce type de problème est la suivante :

  • Pour chacune des zones :
    • Identifier le modèle correspondant à la zone.
    • Calculer la politique optimale pour le modèle de la zone.
    • Puisque le modèle n’a qu’un minimum, l’optimum de la zone est soit le point optimal (s’il est dans la zone) soit le point frontière le plus proche.
    • Calculer le coût de la politique en ce point.
  • Choisir la zone ayant la politique la meilleure.



Figure 4 : Exemple de 4 zones à paramètres constants


Dans l’exemple de la Figure 5, il y a 4 zones, de 4 couleurs différentes. Chaque zone donne lieu à un modèle du type « Wilson » et dispose d’un optimum :

  • L’optimum en vert est dans la zone orange, donc pour la zone verte, l’optimum est la frontière entre vert et orange.
  • L’optimum de la courbe orange est dans la zone orange, c’est l’optimum de cette zone.
  • L’optimum de la zone bleue est encore dans la zone orange, l’optimum est donc la frontière entre orange et bleu.
  • L’optimum de la courbe rose est dans la zone orange, l’optimum de la zone rose est donc sa frontière avec la zone bleue.

Finalement, la solution optimale sera dans la zone bleue, à la frontière avec la zone orange, puisque cette valeur est la plus faible des 4 minima de zone.

Globalement, le point le plus bas est le rose, mais les paramètres du modèle ne s’appliquent pas dans cette zone.

Exemple 1:

On trouve cette approche si il y a un coût différentiel de transport, avec 3 camions différents, un petit, un moyen et un gros, chacun ayant un coût fixe et un coût variable. Les zones correspondent aux camions. Dans ce cas, il faut faire attention pour le calcul du coût optimal par zone, car le coût fixe de transport qui n’est pas différentiel DANS la zone doit être incorporé, car il est différentiel entre les zones.

Exemple 2:

On trouve cette approche si le fournisseur définie 2 zones de prix (ou plus) de la manière suivante :

  • Prix = [math]x[/math] dollars, jusqu’au 1000ème produit
  • Au-delà, chaque produit additionnel coûte [math]x\times (1-\alpha)\$[/math] (prix réduit)

Dans ce cas, le prix d’achat devient différentiel, mais là encore, seulement entre zone.