Stocks de produits périssables (Newsboy)

Stocks de produits périssables

On parle de produit périssable lorsque l’approvisionnement se fait en une seule fois. Les produits excédentaires sont détruits ou vendus à perte, les produits manquants sont définitivement perdus. On trouve cette situation dans :

  • les produits de type mode, saisonnier, acheté en Asie, approvisionné en container,
  • les produits alimentaires frais,
  • certains produits alimentaires avec date serrée de péremption,
  • etc.

La gestion de ces inventaires se fait alors en 4 étapes :

  • Estimation du besoin et donc des ventes prévisionnelles
  • Passage de la commande et attente
  • Réception des produits et début des ventes
  • Fin des ventes et constatation soit d’un surplus soit d’un manque

Évidement, le but est d’avoir les meilleures prévisions possibles. Au-delà de cela, il faut déterminer la quantité à approvisionner en faisant un arbitrage entre les coûts de pénurie et ceux de rupture.


Figure 5


Sur la figure, on voit deux résultats de vente. En rouge, les ventes sont bonnes mais on fini en négatif, donc on a une rupture. En vert, on a des surplus.

Modèle de base

Notation:

  • c, coût d’achat du produit
  • v, prix de vente du produit
  • f, densité de probabilité des ventes (estimée)
  • X, demande réelle
  • G(S), gain si on approvisionne S produit

On doit calculer le gain G(S):


[math]G(S)= v\times min(X,S) - c \times S[/math]



[math] \displaystyle\frac {\partial G(S)} {\partial (S)} = v\times \left( \displaystyle\frac {\partial (min(X,S)}{\partial (S)}\right) - c [/math]



[math]\displaystyle\frac {\partial G(S)}{\partial (S)} = v \times (1 \times P(S < X) + 0 \times P(S \ge X)) - c = v \times P(S < X)-c[/math]



[math]\displaystyle\frac {\partial G(S)}{\partial (S)} = v \times [1 - P(S \ge X)] - c = v \times [(1 - F(S)]-c [/math]



Et par conséquent :

[math] \displaystyle\frac {\partial G(S)} {\partial (S)} = 0 \to S = F^{-1}\left[ \displaystyle\frac{v - c}{v} \right] = F^{-1} \left[1- \displaystyle \frac{c}{v} \right]
[/math]



Donc la politique optimale est simplement calculée par la fonction inverse de la fonction de répartition de la densité de probabilité de la demande.

Exemple :

Un boulanger fabrique des viennoiseries tous les jours. Le surplus est donné aux employés le soir, mais gratuitement. Le coût de fabrication est estimé à 0.40 [math] \$[/math], le prix de vente à 1,00 [math]\$[/math]. La demande suit une loi normale de moyenne 120 et d’écart type 20. Combien doit-t-il en fabriquer :

Réponse (voir Excel) ==LOI.NORMALE.INVERSE((1-0.4)/1,120,20)=125

Remarque :

Rien n’est jamais si simple. D’une part, le commerçant vend ses viennoiseries 1.00 [math] \$[/math] l’unité, et 4.00 [math] \$[/math] pour 5 unités, la répartition est inconnue, car la caisse n’enregistre pas cela. D’autre part, les employés sont plus fidèles s’ils emportent de temps en temps des viennoiseries chez eux. Et finalement, pour connaitre la loi de la demande, le commerçant dispose d’un fichier donnant jour par jour sa production, combien il en reste à la fermeture (si il en reste) ou l’heure de vente du dernier. C’est avec cela qu’il doit reconstruire la loi de demande….

Dans le cas de la quantité économique de commande, on a calculé le coût d’une politique. Il peut ici aussi être intéressant de calculer le gain associé à la politique optimale. C’est malheureusement beaucoup plus compliqué car il n’existe pas de formule indépendante de la loi de probabilité de la demande (voir note technique).

Modèle générale

Notation :

  • c, coût d’achat du produit
  • v, prix de vente du produit
  • r, coût de rupture
  • s, prix de solde
  • p, prix de possession
  • f, densité de probabilité des ventes (estimée)
  • X, demande réelle
  • G(S), gain si on approvisionne S produit

Ces trois nouveaux coûts (r, s, p) sont généralement introduits dans le modèle général. Ils correspondent aux réalités suivantes :
Le coût de rupture exprime qu’une non vente peut se traduire par une perte au-delà de la non vente. Si le client ne trouve pas son produit, il peut ne plus revenir ou supprimer d’autres achats

Le prix de solde exprime que si le produit n’est pas vendu au bout de la période de vente, on peut s’en départir à perte, mais pas pour rien.

Le coût de possession est souvent rajouter par symétrie avec le problème de Wilson.

Dans cette partie nous ignorerons la partie coût de stockage car il peut, sans nuire à la généralité, se grouper au prix d’achat.

Le gain est alors:


[math]G(S) = v \times min(X,S) + s \times max(S - X,0) - r \times max(X - S,0) - c \times S[/math]



[math]\displaystyle\frac {\partial G(S)}{\partial (S)} = v \times \displaystyle\frac {\partial (min(X,S))}{\partial (S)} + s \times \displaystyle\frac {\partial (max(S - X,0))}{\partial (S)} - r \times \displaystyle\frac {\partial (max(X - S,0))}{\partial (S)} - c [/math]



[math]\displaystyle\frac {\partial G(S)}{\partial (S)} = v \times (P(S < X)) + s \times (P(S - X > 0)) + r \times (P(X - S > 0)) - c [/math]



Note : le signe « + » devant le « r » s’explique par le fait que la dérivée de « max(X-S,0) » par rapport à S est de « -1 » si « X-S>0 » et de « 0 » sinon. Le coût de rupture décroit avec S, alors que les coûts d’achat et de vente de surplus croissent avec S.


[math]\displaystyle\frac {\partial G(S)}{\partial (S)} = v \times (1 - P(X < S)) + s \times (P(X < S)) + r \times (1 - P(X < S)) - c [/math]



[math]\displaystyle\frac {\partial G(S)}{\partial (S)} = v + r - c - (v + r - s) \times P(X < S) [/math]



[math]\displaystyle\frac {\partial G(S)}{\partial (S)} = 0 \to F^{-1}(S) = \displaystyle\frac {(v + r - c)}{(v + r - s)} [/math]



Exemple :

Si le même boulanger estime que la perte d’un client lui coûte 10[math]\$[/math] et qu’il solde ses viennoiseries à 0.20 [math]\$[/math] en fin de soirée, il doit fabriquer :

Solution (avec Excel)= LOI.NORMALE.INVERSE((1+10-0.4)/(1+10-0.2),120,20)=162

On est donc beaucoup plus prudent.

Limite :

Le modèle n’a de sens que si « s < c », autrement dit si les surplus sont vendus à perte. Dans la réalité (Cf boxing day) on fait des rabais, mais pas de la vente à perte. Si on relaxe cette contrainte et que « s>c », alors le coefficient [math]\displaystyle\frac {(v + r - c)}{(v + r - s)} [/math] passe au-delà de 1 et cela n’a pas de sens. À la limite, si « s=c » on doit commander une quantité infinie. Le problème vient du modèle mathématique sous-jacent qui assume que TOUS les invendus seront vendus, donc qu’implicitement, la demande est infinie. Or ce n’est évidement pas le cas.